2015年高一数学下册期末模拟试卷含参考答案

泰兴市第一高级中学2014—2015学年度第二学期期末模拟考试（一）
高一数学试卷
卷面总分：160 分  考试时间：120分钟

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上
1． 已 知直线 若直线 与直线 垂直， 则m的 值为______.
2．若等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 =        ．
3. 已知圆 与直线 相切，则圆 的半径        
4.若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤ay＞bx 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．
5．在等差数列{ }中，已知 ，则3 =　        　．
6.过圆 上一点 的切线方程为___________________.
7．设实数 满足 则 的最大值为___________
8. 设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是________．
9. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则（高考学习网www.gaozhong.cc/）下列命题为真命题的序号是____.
（1）.若 ；
（2）.若 ；
（3）.若 ；
（4）.若
10. 已知正四棱锥的底面边长是6，高为 ，则该正四棱锥的侧面积为        ．
11．己知a，b为正数，且直线  与直线  互相平行，则2a +3b的最小值为       ．
12．如果关于x的不等式 的解集是R，则实数m的取值范围是       .          

 
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （本题满分14分）
已知 的顶点 ，求：
（1） 边上的高所在直线的方程；
（2） 边上的中线所在直线的方程；
（3） 外接圆方程.

16、（本题满分14分）
等比数列 的各项均为正数，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设  ，求数列 的前 项和 .

17. （本题满分14分）
如图所示，矩形 中， 平面 ， ， 为 上的点，且 平面
(1) 求证： 平面 ；
(2) 求证： 平面 ；
(3) 求三棱锥 的体积.
18．（本题满分16分）
某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用 为0.03元，该厂每天需 要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．
(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；
(2)求该厂多少天购买一 次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．

19．（本题满分16分）
已知以点 Ct，2t(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O ，B，其中O为原点．
(1)求证：△AOB的面积为定值；
(2 )设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M，N，若 ，求圆C的方程；
( 3)在(2)的条件下，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求 的最小值及此时点P的坐标．

20．（本题满分16分）
已知  是数列 的前 项和，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）设各项均不为零的数列  中，所有满足 的正整（高考学习网WwW.gaOzhONg.cC）数 的个数称为这个数列  的变号数，令 （n为正整数），求数列 的变号数；
（3）记数列 的前 的和为 ，若 对 恒成立，求正整数 的最小值。

高一数学期末模拟（一）参考答案
1、0或2；2、31；3、2;4、②、④； 5、20；6、
   ；   9、③； 10、48；11、25；12、 ；
13、 ；14、
15：解： …………4分

16、解：（ 1） …………4分
（2） .
17、 (1)证明：∵ 平面 ， ，∴ 平面 ，则  
又 平面 ，则  平面
(2)由题意可得 是 的中点，连接
平面 ，则 ，而 ，
是 中点,在 中， ， 平面
(3)  平面 ， ，
而 平面 ， 平面
是 中点，  是 中点， 且 ，
平面 ， ， 中， ，
 
18、解：(I)每次购买原材料后，当天用掉的400公斤原材料不需要保管费用，第 二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需 保管3天，……，第x天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400公斤原材料需保管x-1天． 每次购买 的原材料在x天内总的保管费用
y1=400×O．03[1+2+3+…+(x-1)]=6x2-6x(元)．             …………7分
(Ⅱ)由上问可知，购买一次原材料的总的费用为6x2-6x+600+1．5×400x元，
∴  购买一次原材料平均每天支付的总费用

∴ .  当且仅当 ，即x=10时，取等号. …………15分∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y最少，为714元．…………16分
               
19：(1)证明：
　由题设知， 圆C的方程为(x－t)2 ＋y－2t2＝t2＋4t2，化简得x2－2tx＋y2－4ty＝0，
当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；
当x＝0时，y＝0或4t，则B0，4t，
∴S△AOB＝12|OA|簠伀B|＝12|2t|4t＝4为定值．                     …………5 分
(2)解：∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，
∴C，H，O三点共线，则直线OC的斜率k＝2tt＝2t2＝12，∴t＝2或t＝－2.
∴圆心为C(2,1)或(－2，－1)，
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，
由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.                             …………10分
(3)解：点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)，
则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，
又B′ 到圆上点Q的最短距离为|B′C|－r＝－62＋－32－5＝35－5＝25.
所以|PB|＋|PQ|的最小值为25 ，直线B′C的方程为y＝12x，
则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为－43，－23.      …………16分

（2）
由题设      …………7分
当 时，令
 …………………………9分
又  时也有    
综上得数列 共有3个变号数，即变号数为3   …………11分

（3）令 ，

       =  ……… …13分
当 时，
所以 单调递减；因而 的最大值 为
当 时， ，所以  …………15分
所以： ，即 ，又 为正整数；所以 的最小值为23．……………16分