2017高考数学首轮考点训练-概率含答案解析

第十章　概    率
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1.事件与概率
(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．
(2)了解两个互斥事件的概率加法公式．
2．古典概型
(1)理解古典概型及其概率计算公式．
(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
3．随机数与几何概型
(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
(2)了解几何概型的意义．

§10.1　随机事件的概率

1．随机事件和确定事件
(1)在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．
(2)在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的____________．
必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件S的确定事件．
(3)在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的__________．
(4)____________和____________统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．
2．频率与概率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的________，称事件A出现的比例fn(A)＝         为事件A出现的频率．
(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的____________fn(A)稳定在某个常数上，把这个____________记作P(A)，称为事件A的____________．
(3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为__________．
3．事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)
定义 符号表示
包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B______事件A(或称事件A包含于事件B)
(或AB)
相等关系 若BA且AB ________
并事件
(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生______事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件 A∪B(或A＋B)
交事件
(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生____事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件 A∩B
(或AB)
互斥事件 若______为不可能事件，则事件A与事件B互斥 A∩B＝______
对立事件 若________为不可能事件，________为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝______ P(A∪B) ＝P(A)＋P(B) ＝________
拓展：“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系：两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但对立一定互斥．
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：____________.
(2)必然事件的概率P(E)＝____________.
(3)不可能事件的概率P(F)＝____________.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝_________________________.
推广：如果事件A1，A2，…，An两两互斥(彼此互斥)，那么事件A1＋A2＋…＋An发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋An)＝________________________.
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝____________.

自查自纠：
1．(1)必然事件　(2)不可能事件　(3)随机事件
(4)确定事件　随机事件
2．(1)频数　nAn　(2)频率　常数　概率
(3)小概率事件
3．包含　BA　A＝B　或　且　A∩B　"A∩B  A∪B　"1
4．(1)0≤P(A)≤1　(2)1　(3)0　(4)①P(A)＋P(B)　P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)　②1－P(B)

 (2015嘠北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)
A．134石    B．169石
C．338石    D．1365石
解：依题意，这批米内夹谷约为28254×1534≈169石，故选B.
 (2015映汉质检)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(　　)
A．对立事件     B．不可能事件
C．互斥但不对立事件   D．不是互斥事件
解：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给乙、丙两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件．故选C.
 (2014张坬十校联考)从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，对于事件A：“这个三角形是等腰三角形”，下列推断正确的是(　　)
A．事件A发生的概率等于15
B．事件A发生的概率等于25
C．事件A是不可能事件
D．事件A是必然事件
解：从正五边形的五个顶点中随机选三个顶点连成的三角形都是等腰三角形，所以事件A是必然事件．故选D.
 (2013褠徽)从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是____________．
解：所有可能情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10种，和为5的情形有(1，4)，(2，3)共2种，故所求概率为210＝15.故填15.
 (2015张苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
解：从4只球中一次摸出2只球，有(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)共6种情形，2只球颜色不同的情形有5种，故所求概率为56.故填56.

类型一　随机事件的概念
　同时掷两颗骰子一次，
(1)“点数之和是13”是什么事件？其概率是多少？
(2)“点数之和在2～13之间”是什么事件？其概率是多少？
(3)“点数之和是7”是什么事件？其概率是多少？
解：(1)由于点数最大是6，和最大是12，不可能得13，故此事件是不可能事件，其概率为0.
(2)由于点数之和最小是2，最大是12，在2～13之间，它是必然事件，其概率为1.
(3)由(2)知，和是7是有可能的，此事件是随机事件．事件“点数之和是7”包含的基本事件有{1，6}，{2，5}，{3，4}，{4，3}，{5，2}，{6，1}共6个，因此该事件的概率P＝66×6＝16.

点拨：
明确必然事件、不可能事件、随机事件的意义及相互联系．判断一个事件是哪类事件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否，在条件S下事件发生与否是对应于条件S而言的．

　一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中任意取出一个球，
(1)“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？
(2)“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？
(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？
解：(1)由于口袋内装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率为0.
(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球，也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率是38.
(3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率为1.
类型二　对立与互斥的概念
　判断下列各组事件是否是互斥事件，并说明道理．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中
(1)恰有1名男生和恰有2名男生；
(2)至少有一名男生和至少有一名女生；
(3)至少有一名男生和全是男生；
(4)至少有1名男生和全是女生．
解：(1)是互斥事件．
道理是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件．
(2)不是互斥事件．
道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．
(3)不是互斥事件．
道理是：“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生．
(4)是互斥事件．
道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生．

点拨：
判断两个事件是否为互斥事件，就是考查它们能否同时发生，如果不能同时发生，则是互斥事件，否则，就不是互斥事件．判断对立与互斥除了用定义外，也可以利用集合的观点来判断．注意：①事件的包含、相等、互斥、对立等，其发生的前提条件应是一样的；②对立是针对两个事件来说的，而互斥可以是多个事件的关系．

　在10件产品中有8件正品、2件次品，从中任取3件：
(1)“恰有1件次品”和“恰有2件次品”是互斥事件吗？
(2)“恰有2件次品”和“至多有1件次品”是对立事件吗？
解：(1)“恰有1件次品”和“恰有2件次品”都是随机事件，且不可能同时发生，∴二者是互斥事件；
(2)“恰有2件次品”即“2件次品1件正品”，
“至多有1件次品”即“3件正品”或“1件次品2件正品”，它们不可能同时发生且并起来是必然事件， ∴二者是对立事件．

类型三　互斥与对立的运用(初步)
　经统计，在某展览馆处排队等候验证的人数及其概率如下表：
排队人数 0 1 2 3 4 5
概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 0.04
(1)求至多2人排队的概率；
(2)求至少1人排队的概率．
解：设没有人排队为事件A，恰有1人排队为事件B，恰有2人排队为事件C，至多2人排队为事件D，至少1人排队为事件E，则事件A，B，C两两互斥，事件A和E是对立事件，并且D＝A＋B＋C.
由表格中的数据得P(A)＝0.10，P(B)＝0.16，P(C)＝0.30.
(1)至多2人排队的概率为P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56.
(2)至少1人排队的概率为P(E)＝1－P(A)＝1－0.10＝0.90.

点拨：
求事件的概率常需求互斥事件的概率和，要学会把一个事件分拆为几个互斥事件．当直接计算事件的概率比较复杂(或不能直接计算)时，通常是正难则反转而求其对立事件的概率．

　(2015夠彭模拟)黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表：
血型 A B AB O
该血型的人数所占的比例 28% 29% 8% 35%
已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若他因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解：(1)任找一人，其血型为A，B，AB，O型血分别记为事件A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′∪D′，根据概率加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)解法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
解法二：“任找一个人，其血不能输给小明”的对立事件是“任找一个人，其血可以输给小明”，由对立事件概率公式结合(1)知所求概率为1－0.64＝0.36.

1．概率与频率的关系
(1)频率是一个随机数，在试验前是不能确定的．
(2)概率是一个确定数，是客观存在的，与试验次数无关．
(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，因而概率是频率的稳定值．
2．互斥事件、对立事件的判定方法
(1)利用基本概念
①互斥事件是两个不可能同时发生的事件；
②对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生．
(2)利用集合的观点来判断
设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B，
①事件A与B互斥，即集合A∩B＝；
②事件A与B对立，即集合A∩B＝，且A∪B＝I(全集)，也即A＝IB或B＝IA；
③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.
3．求复杂互斥事件概率的方法
一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏．特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便．

1．给出下列事件：
①同学甲竞选班长成功；
②两队比赛，强队胜利；
③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同；
④若集合A，B，C满足AB，BC，则AC；
⑤古代有一个国王想处死一位画师，背地里在2张签上都写了“死”字，再让画师抽“生死签”，画师抽到死签；
⑥七月天下雪；
⑦从1，3，9中任选两数相加，其和为偶数；
⑧骑车通过10个十字路口，均遇红灯．
其中属于随机事件的有(　　)
A．3个  B．4个  C．5个  D．6个
解：①②⑥⑧为随机事件．故选B.
2．(2015绍兴模拟)从1，2，…，9中任取两数，其中：
①恰有一个偶数和恰有一个奇数；
②至少有一个奇数和两个都是奇数；
③至少有一个奇数和两个都是偶数；
④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述4对事件中，是对立事件的是(　　)
A．①  B．②④  C．③  D．①③
解：从9个数字中任取两个数有三种取法：一奇一偶，两奇，两偶，故只有③中两事件是对立事件．故选C.
3．(2013丠腭模拟)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则抽查一件产品，恰好是正品的概率为(　　)
A．0.99  B．0.98  C．0.97  D．0.96
解：由互斥与对立的概念可知所求概率为1－(0.03＋0.01)＝0.96，故选D.
4．(2015圠昌模拟)5张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从这5张卡片中一次随机抽取2张，则取出的2张卡片上数字之和为偶数的概率为(　　)
A.35   B.25   C.34   D.23
解：抽取的所有可能结果为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10种．和为偶数的有(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)，共4种，故所求为410＝25.故选B.
5．(2013褠徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　)
A.23   B.25   C.35   D.910
解：事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，列举易知，从五位学生中选三人的基本事件个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P＝1－110＝910.故选D.
6．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，从中任意取出一个，则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是(　　)
A.325   B.27250   C.6125   D.12125
解：∵每条棱上有8块，共有8×12＝96块．
∴所求概率为961000＝12125.故选D.
7．口袋内有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率为0.6，那么摸出白球的概率是________．
解：设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A，B，C，由条件P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.65，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.6，又P(A∪B)＝1－P(C)，∴P(C)＝0.35，∴P(B)＝0.25.或用0.65＋0.6－1＝0.25.故填0.25.
8．(2015嘠坮模拟)甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么甲是乙的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”四者之一)．
解：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立．故填必要不充分．
9．在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．
(1)求所选用的两种不同添加剂的芳香度之和等于4的概率；
(2)求所选用的两种不同添加剂的芳香度之和不小于3的概率．
解：设“所选用的两种不同添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B.
列举易知，从六种不同芳香度的添加剂中随机选两种有15种选取方法．
(1)“所选用的两种不同添加剂的芳香度之和等于4”的选法有2种：(0，4)，(1，3)，故P(A)＝215.
(2)“所选用的两种不同添加剂的芳香度之和小于3”的选法有2种：(0，1)，(0，2)，故P(B)＝1－115＋115＝1315.
10．抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过3”，求P(A∪B)．
解法一：因为A∪B的意义是事件A发生或事件B发生，所以一次试验中只要出现1，2，3，5四个可能结果之一时，A∪B就发生，而一次试验的所有可能结果为6个，所以P(A∪B)＝46＝23.
解法二：记事件C为“朝上一面的数为2”，则A∪B＝A∪C，且A与C互斥．又因为P(C)＝16，P(A)＝12，所以P(A∪B)＝P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝12＋16＝23.
解法三：记事件D为“朝上一面的数为4或6”，则事件D发生时，事件A和事件B都不发生，即事件A∪B不发生．又事件A∪B发生即事件A发生或事件B发生时，事件D不发生，所以事件A∪B与事件D为对立事件．因为P(D)＝26＝13，所以P(A∪B)＝1－P(D)＝1－13＝23.
11．(2014唠羖)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元) 0 1000 2000 3000 4000
车辆数(辆) 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
解：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501000＝0.15，P(B)＝1201000＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100辆，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.

 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是14，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率是12，试求：从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
解：从中任取一球，分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，D.由于A，B，C，D为互斥事件，根据已知得