2016年邢台市高一数学下期末试卷带答案和解释

2015-2016学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．已知集合P={x|1＜x＜10}，Q={x|（x+2）（7﹣x）＞0}，则P∩Q等于（　　）
A．{x|﹣2＜x＜10} B．{x|7＜x＜10}
C．{x|1＜x＜7} D．{x|1＜x＜2或7＜x＜10}
2．在首项为63，公比为2 的等比数列{an}中，2016是该数列的（　　）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosB= ，A= ，则 等于（　　）
A．  B．  C．  D．
4．设向量 =（1，2）， =（﹣3，5）， =（4，x），若 + =λ （λ∈R），则λ+x的值是（　　）
A．﹣  B．  C．﹣  D．
5．设x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值与最小值分别为（　　）
A．6，﹣3 B．1，﹣3 C．6，﹣2 D．1，﹣2
6．某校高一年级有甲、乙、丙三位学生，学生甲第一次、第二次、第三次月考的物理成绩依次成等差数列，乙、丙也是如此，他们前两次月考的成绩如表：（　　）
 第一次月考物理成绩  第二次月考物理成绩
学生甲  80  85
学生乙  81  83
学生丙  90  86
则下列结论正确的是（　　）
A．甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为86
B．在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高
C．在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定
D．在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大
7．若tanα=2tanβ且tan（α﹣β）= ，则tanα等于（　　）
A． 或6 B． 或3 C． 或﹣6 D． 或﹣3
8．若x＞0，y＞0，且x2+ =1，则 的最大值为（　　）
A．  B．  C．  D．
9．在数列{an}中，a ﹣a =﹣2，a1=5，记数列{a }的前n项和为Sn，则Sn的最大值为（　　）
A．S2 B．S61 C．S62 D．S63
10．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）的部分图象如图所示，为得到函数y=cos（ωx+ ）的图象，只需将函数y=f（x）的图象（　　）

A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
11．已知向量 ， 的夹角为锐角，| |= ，| |= ，且 与 ﹣ 夹角的余弦值为 ，则向量 在 方向上的投影为（　　）
A．  B．3 C．2或3 D．﹣ 或
12．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2sinB+（a2+b2﹣c2）sinA=0，tanA= ，则A等于（　　）
A．  B．  C．  D．
　
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.
13．若函数f（x）= ，则f（f（25））=　　　　　　．
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a9+a13=8﹣ka11，S21=21，则k=　　　　　　．
15．在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，D为BC边上任意一点，则 ＜0的概率为　　　　　　．
16．已知Sn，Tn分别为数列{log2（1+ ）}与{ }的前n项和，若Sn+Tn＞134，则n的最小值为　　　　　　．
　
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知数列{an}为等比数列，a1=4，且2a2+a3=60．
（1）求{an}；
（2）若数列{bn}满足，bn+1=bn+an，b1=a2＞0，求bn．
18．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且 = （0＜λ＜1）．
（1）当 时，若 =x +y ，求x，y的值；
（2）当AE⊥BD时，求λ的值．
19．已知△ABC满足 （sin2B+sin2C﹣sin2A）=2sinBsinC．
（1）求tanA；
（2）若BC=2 ，求△ABC的面积的最大值．
20．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣ cos2x（x∈R）．
（1）若f（t﹣x）=f（t+x）且t∈（0，π），求实数t的值；
（2）记函数f（x）在x∈[ ， ]上的最大值为b，且函数f（x）在[aπ，bπ]（a＜b）上单调递增，求实数a的最小值．
21．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4acosA=ccosB+bcosC．
（1）若a=4，△ABC的面积为 ，求b，c的值；
（2）若sinB=ksinC（k＞0），且△ABC为钝角三角形，求k的取值范围．
22．在数列{an}中，an+1﹣9an=9n+1，a1=9．
（1）求an；
（2）设bn=an（1+ ）﹣1，求数列{bn}的前n项和Sn．
　

2015-2016学年河北省邢台市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．已知集合P={x|1＜x＜10}，Q={x|（x+2）（7﹣x）＞0}，则P∩Q等于（　　）
A．{x|﹣2＜x＜10} B．{x|7＜x＜10}
C．{x|1＜x＜7} D．{x|1＜x＜2或7＜x＜10}
【分析】求出集合Q的范围，再和P取交集即可．
【解答】解：P={x|1＜x＜10}，
Q={x|（x+2）（7﹣x）＞0}={x|﹣2＜x＜7}，
则P∩Q={x|1＜x＜7}，
故选：C．
　
2．在首项为63，公比为2 的等比数列{an}中，2016是该数列的（　　）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
【分析】先由首项与公比求出该等比数列的通项公式，由此能求出2016是该数列的第几项．
【解答】解：在首项为63，公比为2 的等比数列{an}中，
an=63×2n﹣1，
由an=63×2n﹣1=2016，解得n=6．
故选：B．
　
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosB= ，A= ，则 等于（　　）
A．  B．  C．  D．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值可求sinB，sinA的值，利用正弦定理即可计算得解．
【解答】解：∵cosB= ，B∈（0，π），A= ，
∴sinB= = ，sinA= ，
∴由正弦定理 ，可得：  = = ．
故选：D．
　
4．设向量 =（1，2）， =（﹣3，5）， =（4，x），若 + =λ （λ∈R），则λ+x的值是（　　）
A．﹣  B．  C．﹣  D．
【分析】根据平面向量的坐标运算与向量相等，列出方程组求出λ和x的值，即可求出λ+x的值．
【解答】解：向量 =（1，2）， =（﹣3，5）， =（4，x），
∴ + =（﹣2，7），
又 + =λ （λ∈R），
∴ ，
解得λ=﹣ ，x=﹣14；
∴λ+x=﹣ ﹣14=﹣ ．
故选：C．
　
5．设x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值与最小值分别为（　　）
A．6，﹣3 B．1，﹣3 C．6，﹣2 D．1，﹣2
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+y得y=﹣x+z，
平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，
直线y=﹣x+z的截距最大，
此时z最大．
由 ，解得 ，即A（4，2），
代入目标函数z=x+y得z=4+2=6．
即目标函数z=x+y的最大值为6．
当直线y=﹣x+z经过点C（﹣1，﹣2）时，
直线y=﹣x+z的截距最小，
此时z最小．代入目标函数z=x+y得z=﹣1﹣2=﹣3．
即目标函数z=x+y的最小值为﹣3．
故选：C

　
6．某校高一年级有甲、乙、丙三位学生，学生甲第一次、第二次、第三次月考的物理成绩依次成等差数列，乙、丙也是如此，他们前两次月考的成绩如表：（　　）
 第一次月考物理成绩  第二次月考物理成绩
学生甲  80  85
学生乙  81  83
学生丙  90  86
则下列结论正确的是（　　）
A．甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为86
B．在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高
C．在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定
D．在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大
【分析】分别求出甲、乙、丙第三次月考的物理成绩，根据具体的数据判断即可．
【解答】解：甲、乙、丙第三次月考的物理成绩分别是90，85，82，
∴甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数小于86，故A错误；
在这三次月考物理成绩中，丙的成绩平均分最高，故B错误；
在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定，故C正确；
在这三次月考物理成绩中，甲的成绩方差最大，故D错误；
故选：C．
　
7．若tanα=2tanβ且tan（α﹣β）= ，则tanα等于（　　）
A． 或6 B． 或3 C． 或﹣6 D． 或﹣3
【分析】利用两角查的正切公式求得tanβ的值，可得tanα的值．
【解答】解：∵tanα=2tanβ且tan（α﹣β）= = = ，
∴tanβ=3，或 tanβ= ，则tanα=2tanβ=6或 ，
故选：A．
　
8．若x＞0，y＞0，且x2+ =1，则 的最大值为（　　）
A．  B．  C．  D．
【分析】利用基本不等式，即可求出 的最大值
【解答】解：∵x＞0，y＞0，
∴x2+ =1≥2 ，
∴ ≤ ，
∴ 的最大值为 ，
故选：B．
　
9．在数列{an}中，a ﹣a =﹣2，a1=5，记数列{a }的前n项和为Sn，则Sn的最大值为（　　）
A．S2 B．S61 C．S62 D．S63
【分析】运用等差数列的定义可得，数列{a }是首项为125，公差为﹣2的等差数列，运用等差数列的通项公式可得a =125+（﹣2）（n﹣1）=127﹣2n，判断数列的单调性，即可得到所求和的最大值．
【解答】解：由a ﹣a =﹣2，a1=5，
可得数列{a }是首项为125，公差为﹣2的等差数列，
可设bn=a =125+（﹣2）（n﹣1）=127﹣2n，
由bn≥0，bn+1≤0，
即127﹣2n≥0，125﹣2n≤0，
解得62 ≤n≤63 ，
即有自然数n为63．
由等差数列{a }为递减数列，
可得前63项均为正数，第64项起均为负数．
则前63项和最大．
故选：D．
　
10．已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）的部分图象如图所示，为得到函数y=cos（ωx+ ）的图象，只需将函数y=f（x）的图象（　　）

A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【分析】根据函数f（x）的图象求出ω的值，化简f（x），根据平移法则即可得出答案．
【解答】解：根据函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象知，
函数的周期为T=π，  =π，
所以ω=2；
所以f（x）=sin2x，
又f（x）=cos（ ﹣2x）=cos（2x﹣ ），
且cos[2（x+ ）﹣ ]=cos（2x+ ），
所以，为得到函数y=cos（2x+ ）的图象，
只需将函数y=f（x）的图象向左平移 个单位长度．
故选：A．
　
11．已知向量 ， 的夹角为锐角，| |= ，| |= ，且 与 ﹣ 夹角的余弦值为 ，则向量 在 方向上的投影为（　　）
A．  B．3 C．2或3 D．﹣ 或
【分析】可由条件求出 ，进而得出 的值，并可由 和 建立关于 的方程，从而求出 ，根据投影的计算公式便可求出所求投影的值．
【解答】解：根据条件，  =14 ；
∴ ；
又∵ ，
= ；
∴ ；
解得 或 =﹣1，
又∵向量 ， 的夹角为锐角，
∴ ，
∴ 在 方向上的投影为 = ．
故选A．
　
12．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2sinB+（a2+b2﹣c2）sinA=0，tanA= ，则A等于（　　）
A．  B．  C．  D．
【分析】利用正弦、余弦定理，化简a2sinB+（a2+b2﹣c2）sinA=0，求出角C的值，再用B表示出A，代入tanA= ，利用三角恒等变换求出B的值，即可得出A的值．
【解答】解：△ABC中，a2sinB+（a2+b2﹣c2）sinA=0，
∴a2sinB+2ab挠漀猀C猠椀渀A=0，
a猠椀渀B+2b挠漀猀C猠椀渀A=0，
sinA猠椀渀B+2sinB挠漀猀C猠椀渀A=0，
cosC=﹣ ，且0＜C＜π，
∴C= ；
∴A= ﹣B，
又tanA= ，
∴ = ，
sin（ ﹣B） cosB+sin（ ﹣B）=cos（ ﹣B） sinB+cos（ ﹣B），
∴  [sin（ ﹣B）cosB﹣cos（ ﹣B）sinB]=cos（ ﹣B）﹣sin（ ﹣B），
即 sin（ ﹣2B）= sin（ ﹣ +B），
∴ ﹣2B=B﹣ ，
解得B= ，
∴A= ﹣ = ．
故选：D．
　
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.
13．若函数f（x）= ，则f（f（25））=　﹣1　．
【分析】首先求出25的函数值，然后求f（25）的函数值，注意自变量范围，确定解析式．
【解答】解：由已知，函数f（x）= ，则f（25）=﹣ =﹣2，
﹣2＜0，所以f（﹣2）= ，
所以f（f（25））=﹣1；
故答案为：﹣1．
　
14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a9+a13=8﹣ka11，S21=21，则k=　6　．
【分析】由等差数列的性质可得：S21=21= = =21a11，又a9+a13=8﹣ka11，解出即可得出．
【解答】解：由等差数列的性质可得：S21=21= = =21a11，
∴a9+a13=8﹣ka11=2，a11=1
∴ka11=6，解得k=6．
故答案为：6．
　
15．在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，D为BC边上任意一点，则 ＜0的概率为　 　．
【分析】根据题意画出图形，过点A作AM⊥BC，垂足为M，
由此得出当点D在线段MC内时，   ＜0，从而求出对应的概率值．
【解答】解：如图所示，
△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，
∴BC2=AB2+AC2﹣2ABACcos∠BAC=22+12﹣2×2×1×cos120°=7，
∴BC= ；
过点A作AM⊥BC，垂足为M，
则 AMBC= ABACsin120°，
∴AM= = ，
∴BM= = = ；
当点D在线段BM内时，   =| |×| |×cos∠ADB＜0，
故所求的概率为P= = = ．
故答案为： ．
　
16．已知Sn，Tn分别为数列{log2（1+ ）}与{ }的前n项和，若Sn+Tn＞134，则n的最小值为　127　．
【分析】求得log2（1+ ）=log2 =log2（n+1）﹣log2n，运用裂项相消求和可得Sn=log2（n+1）；由 =1+（ ）n，运用等比数列的求和公式可得Tn=n+1﹣（ ）n．再由构造数列f（n）=log2（n+1）+n+1﹣（ ）n，判断单调性，即可得到所求最小值．
【解答】解：log2（1+ ）=log2 =log2（n+1）﹣log2n，
则Sn=log22﹣log21+log23﹣log22+log24﹣log23+…+log2（n+1）﹣log2n
=log2（n+1）；
=1+（ ）n，可得Tn=n+ =n+1﹣（ ）n．
Sn+Tn＞134，即为log2（n+1）+n+1﹣（ ）n＞134，
由f（n）=log2（n+1）+n+1﹣（ ）n在n∈N*递增，
且f127=135﹣（ ）127∈，
即有n的最小值为127．
故答案为：127．
　
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知数列{an}为等比数列，a1=4，且2a2+a3=60．
（1）求{an}；
（2）若数列{bn}满足，bn+1=bn+an，b1=a2＞0，求bn．
【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由b1=a2＞0，取an=4×3n﹣1，可得b1=12．变形为bn+1﹣bn=an=4×3n﹣1，利用“累加求和”与等比数列的前n项和公式即可得出．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵a1=4，且2a2+a3=60．
∴4×（2q+q2）=60，化为：q2+2q﹣15=0，解得q=﹣5，或q=3．
∴an=4×（﹣5）n﹣1，或an=4×3n﹣1．
（2）∵b1=a2＞0，∴an=4×3n﹣1，可得b1=12．
∴bn+1﹣bn=an=4×3n﹣1，
∴bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=4×（3n﹣2+3n﹣3+…+3+1）+12
= +12
=2×3n﹣1+10．
　
18．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且 = （0＜λ＜1）．
（1）当 时，若 =x +y ，求x，y的值；
（2）当AE⊥BD时，求λ的值．
【分析】（1）建立平面直角坐标系，表示出向量 、 和 ，利用平面向量的坐标表示和向量相等列出方程组，即可求出x和y的值；
（2）设出点E（x(高考学习网Www.GaOzhOng.Cc/），y），利用AE⊥BD时 =0，和 与 共线，列出方程组，解方程组求出点E的坐标，即可求出λ的值．
【解答】解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示；
则A（0，0），B（0，2），C（6，0），D（3，0），
当 时，  =  ，E是BC的中点，
所以E（3，1）， =（3，﹣2）， =（6，0）， =（3，1）；
又 =x +y ，
所以（3，1）=x（3，﹣2）+y（6，0）=（3x+6y，﹣2x），
即 ，
解得x=﹣ ，y= ；
（2）设点E（x，y），则 =（x，y）；
当AE⊥BD时，   =0，
即3x﹣2y=0①；
又 =（x，y﹣2），
=（6，﹣2），且 与 共线，
所以﹣2x﹣6（y﹣2）=0②；
由①②组成方程组，解得x= ，y= ；
所以 =（ ，﹣ ），
所以 =  ，
即λ的值为 ．
　
19．已知△ABC满足 （sin2B+sin2C﹣sin2A）=2sinBsinC．
（1）求tanA；
（2）若BC=2 ，求△ABC的面积的最大值．
【分析】（1）利用正弦定理把角化边，再利用余弦定理得出cosA，从而得出tanA；
（2）利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入三角形的面积公式得出面积的最大值．
【解答】解：（1）∵ （sin2B+sin2C﹣sin2A）=2sinBsinC，
∴b2+c2﹣a2= ．
∴cosA= = ．
∴sinA= = ．
∴tanA= = ．
（2）由余弦定理得cosA= = = ，
∴b2+c2= +8≥2bc，∴bc≤6+2 ．
∴S△ABC= bcsinA= bc≤ + ．
∴△ABC的面积的最大值为 ．
　
20．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣ cos2x（x∈R）．
（1）若f（t﹣x）=f（t+x）且t∈（0，π），求实数t的值；
（2）记函数f（x）在x∈[ ， ]上的最大值为b，且函数f（x）在[aπ，bπ]（a＜b）上单调递增，求实数a的最小值．
【分析】（1）利用二倍角的正弦函数公式、两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的对称轴方程求出f（x）的对称轴方程，结合条件求出t的值；
（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出函数的最大值，由正弦函数的增区间求出f（x）的增区间，由条件求出a的范围和最小值．
【解答】解：（1）由题意得，f（x）=2sinxcosx﹣ cos2x=sin2x﹣ cos2x= ，
由 得， ，
∵f（t﹣x）=f（t+x），
∴函数f（x）的对称轴是x=t= ，
∵t∈（0，π），∴t= ；
（2）∵x∈[ ， ]，∴ ，
当 时，f（x）= 取最大值是2，
即b=2，
由 得，
，
∴f（x）的单调递增区间是 ，
∵函数f（x）在[aπ，2π]（a＜2）上单调递增，
∴k=1时增区间是 ，k=0时增区间是 ，
则 ，
∴实数a的最小值是 ．
　
21．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4acosA=ccosB+bcosC．
（1）若a=4，△ABC的面积为 ，求b，c的值；
（2）若sinB=ksinC（k＞0），且△ABC为钝角三角形，求k的取值范围．
【分析】先由正弦定理和三角恒等变换，同角的三角函数基本关系求出cosA、sinA的值；
（1）利用余弦定理和三角形的面积公式列出方程组，求出b、c的值；
（2）利用正弦定理和余弦定理，讨论B为钝角和C为钝角时，分别求出k的取值范围．
【解答】解：△ABC中，4acosA=ccosB+bcosC，
∴4sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，
∴cosA= ，
∴sinA= = ；
（1）a=4，
∴a2=b2+c2﹣2bc挠漀猀A=b2+c2﹣ bc=16①；
又△ABC的面积为：
S△ABC= bc猠椀渀A= bc = ，
∴bc=8②；
由①②组成方程组，解得b=4，c=2或b=2，c=4；
（2）当sinB=ksinC（k＞0），b=kc，
∴a2=b2+c2﹣2bc挠漀猀A=（kc）2+c2﹣2kc挠 =（k2﹣ k+1）c2；
当B为钝角时，a2+c2＜b2，
即（k2﹣ k+1）+1＜k2，解得k＞4；
当C为钝角时，a2+b2＜c2，
即（k2﹣ k+1）+k2＜1，解得0＜k＜ ；
所以△ABC为钝角三角形，k的取值范围是
0＜k＜ 或k＞4．
　
22．在数列{an}中，an+1﹣9an=9n+1，a1=9．
（1）求an；
（2）设bn=an（1+ ）﹣1，求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（1）对等式两边除以9n+1，运用等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；
（2）求得bn=n9n+（2n﹣1），运用数列的求和方法：分组求和和错位相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可得到所求和．
【解答】解：（1）an+1﹣9an=9n+1，a1=9．
可得 ﹣ =1，
即有数列{ }为首项为1，公差为1的等差数列，
可得 =1+（n﹣1）=n，
即有an=n9n；
（2）bn=an（1+ ）﹣1=n9n（1+ ）﹣1
=n9n+（2n﹣1），
可得前n项和Sn=（19+292+…+n9n）+（1+3+…+2n﹣1）．
设Tn=19+292+…+n9n，
9Tn=192+293+…+n9n+1，
两式相减可得，﹣8Tn=9+92+…+9n﹣n9n+1
= ﹣n9n+1，
化简可得Tn= （8n﹣1）+ ，
则Sn=Tn+ n（1+2n﹣1）
= （8n﹣1）+ +n2．