平面向量的概念及运算(一)

    第 五 讲   平面向量和空间向量

Ⅰ、平面向量的概念及运算

1．向量的概念
　　①向量：既有大小又有方向的量。
　　向量一般用......来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：
　　几何表示法，；
　　坐标表示法。
　　向量的大小即向量的模（长度），记作||   即向量的大小，记作｜|。
　　向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
　　②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行
　　零向量＝｜｜＝0。
　　由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有"非零向量"这个条件。（注意与0的区别）
　　③单位向量：模为1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。
　　④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
　　任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作∥。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
　　数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的"共线"与几何中的"共线"、的含义，要理解好平行向量中的"平行"与几何中的"平行"是不一样的。
　　⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量
　　相等向量经过平移后总可以重合，记为。
　　大小相等，方向相同。
2．向量的运算
　　（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。
　设，则+==。
　规定：①；
　　　②向量加法满足交换律与结合律；
　向量加法的"三角形法则"与"平行四边形法则"
　　a.用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
　　b.三角形法则的特点是"首尾相接"，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
，但这时必须"首尾相连"。
　　（2）向量的减法 ：
　　①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。记作,
　　零向量的相反向量仍是零向量。
　　关于相反向量有：
　　（i）=；
　　 (ii) +()=()+=；
　　(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。
②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：
求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
　　　③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。
　　（3）实数与向量的积
　　①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的。
　　②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
3．两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。
4．平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
5．平面向量的坐标表示
　　（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。
　　规定：
　　a.相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；
　　b.向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。
　　（2）平面向量的坐标运算：
　　①若，则；
　　②若，则；
③若=(x,y)，则=(x, y)；
　　④若，则。
典例解析
题型1：平面向量的概念
【例1】 已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|等于
　　A.1 B. C. D.　　　　
　　深化拓展
　　此题也可以利用"解斜三角形"的方法进行处理.
【例2】 如图，G是△ABC的重心，求证：++=0.　　　　深化拓展
　　此题也可用向量的坐标运算进行证明.
【例3】 设、不共线，点P在AB上，求证：=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈R.　　　　　　　　　　　　
　　深化拓展
　　①本题也可变为，不共线，若=λ+μ，且λ+μ=1，λ∈R，μ∈R，求证：A、B、P三点共线.
　　提示：证明与共线.
　　②当λ=μ=时，=（+），此时P为AB的中点，这是向量的中点公式.
【例4】 若a、b是两个不共线的非零向量（t∈R）.
　　（1）若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、（a+b）三向量的终点在一直线上?
　　（2）若|a|=|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小?　　　　　　　　思考讨论
　　两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样?
●闯关训练
1.已知平面向量a=（3，1），b=（x，－3）且a⊥b，则x等于
　　A.3 B.1 C.－1 D.－3
2.若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有
　　A.a∥b且a、b方向相同 B.a=b     C.a=－b D.以上都不对
3.在四边形ABCD中，－－等于
　　A. B. C. D.
4.设四边形ABCD中，有=且||=||，则这个四边形是
　　A.平行四边形 B.矩形      C.等腰梯形 D.菱形
5.l1、l2是不共线向量，且a=－l1+3l2，b=4l1+2l2，c=－3l1+12l2，若b、c为一组基底，求向量a.
6.设两向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.　　　　
　　思考讨论
　　向量a、b的夹角为钝角，则cos〈a，b〉＜0，它们互为充要条件吗?
7.已知向量a=2e1－3e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共线，向量c=2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d=λa+μb与c共线?
8.如图所示，D、E是△ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知=a，=b，试用a、b分别表示、和.　　9.在△ABC中，AM（高考学习网www.gaozhong.cc/）∶AB=1∶3，AN∶AC=1∶4，BN与CM交于点E，=a，=b，用a、b表示.　　●思悟小结
1.我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.
2.共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.
3.对于两个向量平行的充要条件：
　　a∥ba=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件.
4.向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用"数"来证明"形"的问题.
5.培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力.
　　拓展题例
例1 对任意非零向量a、b，求证：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
例2．（1）给出下列命题：①若||＝||，则=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若=，=，则=；④=的充要条件是||=||且//；⑤ 若//，//，则//；其中正确的序号是           。
　　（2）设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=||·;(2)若与a0平行，则=||·；（3）若与平行且||=1，则=。上述命题中，假命题个数是（    ）
　　A．0 B．1 C．2 D．3
题型2：平面向量的运算法则
例1．（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，， 表示出来。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　（2）在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（      ）
　A．＝  B．＋＝  C．－＝  D．＋＝
　　（3）如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量（    ）
　A．          B．
　C．            D．　　例2．设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：
① ，②，③。
例3．设为未知向量，、为已知向量，解方程2?(5+3?4)+ ?3=0
题型3：平面向量的坐标及运算
例1．已知中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC边上的高为AD，求。
例2．已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标。
题型4：平面向量的性质
例1．平面内给定三个向量，回答下列问题：
　　（1）求满足的实数m,n；
　　（2）若，求实数k；
　　（3）若满足，且，求。
例2．已知
（1）求；
（2）当为何实数时，与平行， 平行时它们是同向还是反向？
题型5：共线向量定理及平面向量基本定理
例1．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（    ）
　　A．3x+2y－11=0   B．（x－1）2+（y－2）2=5
　　C．2x－y=0   D．x+2y－5=0
例2．（1）已知︱︱=1，︱︱=,=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n(m、n∈R)，则等于（   ）
　　A．              B．3            C．         D．
（2）如图：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对（x,y）可以是（   ）
　　A．　　　　　B.
　　C.          D.　　题型6：平面向量综合问题
例1．已知向量与的对应关系用表示。
　　（1）证明：对于任意向量及常数m，n恒有成立；
　　（2）设，求向量及的坐标；
　　（3）求使，（p，q为常数）的向量的坐标
例2．求证：起点相同的三个非零向量，，3－2的终点在同一条直线上。