平面向量的概念及运算(三)

Ⅲ、空间向量及其应用

1．空间向量的概念
向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
　　表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
　　说明：
　　①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；
　　②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。
2．向量运算和运算率　　　　　　　　　　　加法交换率：
　　加法结合率：
　　数乘分配率：
　　说明：
　　①引导学生利用图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；
　　②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。
3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。
注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。
　　共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的充要条件是存在实数使＝
　　注：
⑴上述定理包含两个方面：
①性质定理：若∥（≠0），则有＝，其中是唯一确定的实数。
②判断定理：若存在唯一实数，使＝（≠0），则有∥（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）。
⑵对于确定的和，＝表示空间与平行或共线，长度为 ||，当>0时与同向，当<0时与反向的所有向量。
⑶若直线l∥，，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。
　　推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式    ①
　　其中向量叫做直线l的方向向量。
　　在l上取，则①式可化为          ②
　　当时，点P是线段AB的中点，则       ③
　　①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。
　　注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。
4．向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。注意：向量∥与直线a∥的联系与区别。
　　共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
　　共面向量定理  如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使①
　　注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。
　　推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，
　　使④
　　或对空间任一定点O，有⑤
在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。
　　又∵代入⑤，整理得
　　　　　　　　　　　　         ⑥
由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。
5．空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x,  y,  z,  使
　　说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。
　　推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使
6．数量积
（1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则角∠AOB叫做向量与的夹角，记作
说明：⑴规定0≤≤,因而=；
　　⑵如果=，则称与互相垂直，记作⊥；
　　⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，
　　图（3）中∠AOB=，
　　图（4）中∠AOB=,
　　从而有==.
（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。
（3）向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。即=，向量:
（4）性质与运算率
　　⑴。           ⑴
⑵⊥=0           ⑵=
⑶                ⑶
典例解析
题型1：空间向量的概念及性质
例1．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（      ）
①②      ①③      ②③      ①②③
例2．下列命题正确的是（      ）
　　若与共线，与共线，则与共线；
　　向量共面就是它们所在的直线共面；
零向量没有确定的方向；
若，则存在唯一的实数使得；
题型2：空间向量的基本运算
例1．如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ）　　　　
例2．已知：且不共面.若∥,求的值.
题型3：空间向量的坐标
例1．（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件（　　）
　　A. ：||=：||　　　　　　　　　　　B.a1·b1=a2·b2=a3·b3
　　C.a1b1+a2b2+a3b3=0　　　　　　　　　　　　D.存在非零实数k，使=k
　　（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（　　）
　　A. －3或1　　　　　 B.3或－1　　　　　 C. －3　　　　　 D.1
　　（3）下列各组向量共面的是（　　）
　　A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)
　　B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)
　　C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)
　　D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)
例2．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.
题型4：数量积
例1．设、、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
　　①（·）－（·）=  ②||－||<|－|  ③（·）－（·）不与垂直④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（    ）
A.①②   B.②③   C.③④   D.②④
例2．（1）已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2－）·=_____.
　　（2）设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。
题型5：空间向量的应用
例1．（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：++≤4。
　　（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。
例2．直三棱柱中,求证:
思维总结
　　本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底｛i，j，k｝建立坐标系，对于O点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积a·b=|a|·|b|cos<a，b>在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为，对于中点公式要熟记。
　　对本讲内容的考查主要分以下三类：
　　1．以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质
　　此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。
　　2．向量在空间中的应用
在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。
　　在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。因此，掌握双基、精通课本是本章关键。