平面向量的概念及运算(二)

Ⅱ、平面向量的数量积及应用

1．向量的数量积
　　（1）两个非零向量的夹角
已知非零向量a与a，作＝，＝，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角；
　　说明：
　　a.当θ＝０时，与同向；
　　b.当θ＝π时，与反向；
　　c.当θ＝时，与垂直，记⊥；
　　d.注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0?≤?≤180?。　　　　（2）数量积的概念
　　已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）。规定；
　　向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；
　　（3）数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积。
　　（4）向量数量积的性质
　　①向量的模与平方的关系：。
　　②乘法公式成立　　；　　；
　　③平面向量数量积的运算律
　　交换律成立：；
　　对实数的结合律成立：；
　　分配律成立：。
　　④向量的夹角：cos==。
　　当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。
　　（5）两个向量的数量积的坐标运算
　　已知两个向量，则·=。
　　（6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥。
　　两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O，平面向量数量积的性质。
　　（7）平面内两点间的距离公式
　设，则或。
　　如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)。
2．向量的应用
　　（1）向量在几何中的应用；
　　（2）向量在物理中的应用。
典例解析
题型1：数量积的概念
【例1】 判断下列各命题正确与否：
　　（1）若a≠0，a·b=a·c，则b=c；
　　（2）若a·b=a·c，则b≠c当且仅当a=0时成立；
　　（3）（a·b）c=a（b·c）对任意向量a、b、c都成立；
　　（4）对任一向量a，有a2=|a|2.
【例2】 平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点.（1）当·取最小值时，求的坐标；
　　　　（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值.
【例3】 已知向量、、满足++ =0，||=||=||=1.
　　求证：△P1P2P3是正三角形.　　　　　　　　
　　深化拓展
本题也可用如下方法证明：以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P1（x1，y1），
P2（x2，y2），P3（x3，y3），则=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3）.
　　由++=0，得∴
　　由||=||=||=1，得x12+y12=x22+y22=x32+y32=1.
　　∴2+2（x1x2+y1y2）=1.∴||====.　　同理||=，||=.∴△P1P2P3为正三角形.
●闯关训练
1.若a=（2，3），b=（－4，7），则a在b方向上的投影为
　　A. B. C. D.
2.已知|a|=10，|b|=12，且（3a）·（b）=－36，则a与b的夹角是
　　A.60° B.120° C.135° D.150°
3.若向量c垂直于向量a和b，d=λa+μb（λ、μ∈R，且λμ≠0），则
　　A.c∥d    B.c⊥d    C.c不平行于d，也不垂直于d   D.以上三种情况均有可能
4.给出下列命题：
　　①若a2+b2=0，则a=b=0；②已知a、b、c是三个非零向量，若a+b=0，则|a·c|=|b·c|；
③在△ABC中，a=5，b=8，c=7，则·=20；④a与b是共线向量a·b=|a||b|.
　　其中真命题的序号是_______.（请把你认为是真命题的序号都填上）
5.已知|a|=，|b|=3，a和b的夹角为45°，求当向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时，λ的取值范围.
6.如下图，以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰直角△OAB，使∠B=90°.求点B和向量的坐标.
7.已知平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·的值等于_______.
8.已知F1（－1，0），F2（1，0），A（，0），动点P满足3·+·=0.
　　（1）求动点P的轨迹方程.
　　（2）是否存在点P，使PA成为∠F1PF2的平分线?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.　　　　　　　　
9.已知平面向量a=（，－1），b=（，），
　　（1）证明：a⊥b；
　　（2）若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+（t2－3）b，y=－ka+tb，且x⊥y，试求函数关系式k=f（t）；
　　（3）据（2）的结论，确定函数k=f（t）的单调区间.
●思悟小结
1.平面向量的数量积及其几何意义是本节的重点，用数量积处理向量垂直问题，向量的长度、角度问题是难点.
2.向量的数量积是向量之间的一种乘法运算，它是向量与向量的运算，结果却是一个数量，所以向量的数量积的坐标表示是纯数量的坐标表示.
3.向量a与b的夹角：（1）当a与b平移成有公共起点时两向量所成的角才是夹角；
（2）0°≤〈a，b〉≤180°；（3）cos〈a，b〉==.
　　拓展题例
【例1】 在△ABC中，（1）若=a，=b，求证：S△ABC=；
（2）若=（a1，a2），=（b1，b2），求证：△ABC的面积S△=|a1b2－a2b1|.
例2．判断下列各命题正确与否：
　　（1）；
　　（2）；
　　（3）若，则；
　　（4）若，则当且仅当时成立；
　　（5）对任意向量都成立；
　　（6）对任意向量，有。
例3．（1）若、、为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（    ）
　　A．   B．
　　C．m（）=m+m       D．
　　（2）设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
　　①（·）－（·）=  ②||－||<|－|  ③（·）－（·）不与垂直④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（    ）
　　A.①②   B.②③   C.③④   D.②④
题型2：向量的夹角
例1．（1）已知向量、满足、，且，则与的夹角为（     ）
　　A．              B．          C．           D．
（2）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是                       。
（3）已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。
（4）| |=1，|  |=2，= + ，且⊥，则向量与的夹角（    ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
例2．（1）设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（    ）
　　A．－++=                    B．-+=
　　C．+-=                      D．++=
（2）已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是（    ）
　　A．            B．        C．            D．
题型3：向量的模
例1．（1）已知向量与的夹角为，则等于（   ）
A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．1
　（2）设向量满足,,则（  ）
　　A．1               B．2                C．4               D．5
例2．已知＝（3，4），＝（4，3），求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。
题型4：向量垂直、平行的判定
例1．已知向量，，且，则       。
例2．已知，，，按下列条件求实数的值。（1）；（2）；。
题型5：平面向量在代数中的应用
例1．已知。
例2．已知，其中。
（1）求证：与互相垂直；
　　（2）若与（）的长度相等，求。
题型6：平面向量在几何图形中的应用
1.若将函数y=f（x）的图象按向量a平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为
　　A.y=f（x+1）－2 B.y=f（x－1）－2
　　C.y=f（x－1）+2 D.y=f（x+1）+2
2.将抛物线y2=4x沿向量a平移得到抛物线y2－4y=4x，则向量a为
　　A.（－1，2） B.（1，－2）     C.（－4，2） D.（4，－2）
　　思考讨论
　　本题不用平移公式代入配方可以吗?
　　提示：由y2－4y=4x，配方得（y－2）2=4（x+1），∴h=－1，k=2.（知道为什么吗?）
3.设A、B、C三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A点分所得的比为
　　A. B.            C.－ D.－
4.若点P分所成的比是λ（λ≠0），则点A分所成的比是____________.
5.（理）若△ABC的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC的重心坐标为____________.
　　（文）已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线y=mx－7与线段M1M2的交点M分有向线段的比为3∶2，则m的值为____________.
●典例剖析
【例1】 已知点A（－1，6）和B（3，0），在直线AB上求一点P，使||=||.　　　　　　　　深化拓展
　　本题亦可转化为定比分点处理.由=，得=，则P为的定比分点，λ=，代入公式即可；若=－，则=－，则P为的定比分点，λ=－.
　　由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法.
【例2】 已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（4，1），B（3，4），C（－1，2），BD是∠ABC的平分线，求点D的坐标及BD的长.　　　　
　　思考讨论
若BD是AC边上的高，或BD把△ABC分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请思考.
【例3】 已知在□ABCD中，点A（1，1），B（2，3），CD的中点为E（4，1），将
□ABCD按向量a平移，使C点移到原点O.
　　（1）求向量a；（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.
●闯关训练
1.将函数y=sinx按向量a=（－，3）平移后的函数解析式为
　　A.y=sin（x－）+3 B.y=sin（x－）－3
　　C.y=sin（x+）+3 D.y=sin（x+）－3
2.将函数y=2sin2x的图象按向量a平移，得到函数y=2sin（2x+）+1的图象，则a等于
　　A.（－，1） B.（－，1）  C.（，－1） D.（，1）
3.已知点P是抛物线y=2x2+1上的动点，定点A（0，－1），若点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.
4.把函数y=2x2－4x+5的图象按向量a平移后，得到y=2x2的图象，且a⊥b，c=（1，－1），b·c=4，则b=____________.
5.已知向量=（3，1），=（－1，2），⊥，∥.试求满足+=的的坐标.
6.已知A（2，3），B（－1，5），且满足=，=3，=－，求C、D、E的坐标.　　　　　　7.设函数f（x）=a·b，其中a=（2cosx，1），b=（cosx，sin2x），x∈R.
　　（1）若f（x）=1－，且x∈［－，］，求x；
　　（2）若y=2sin2x的图象按向量c=（m，n）（|m|＜）平移后得到函数y=f（x）的图象，求实数m、n的值.
8. 已知曲线x2+2y2+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲线C.
　　（1）求曲线C的方程；
　　（2）过点D（0，2）的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=λ，求实数λ的取值范围.　　　　　　　　　　　　
　　思考讨论
　　本题若设出直线l的方程y=kx+2，然后与x2+2y2=2联立，利用韦达定理能求解吗?（不要忘记讨论斜率不存在的情况）可尝试一下.
9.甲船由A岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为15 n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处（高中学习网www.gaozhong.cc/）的B岛出发，朝北偏东θ（θ=arctan）的方向作匀速直线航行，速度为10 n mile/h.（如下图所示）
　　（1）求出发后3 h两船相距多少海里?
　　（2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里?
●思悟小结
1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题：
　　（1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；
　　（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义=λ获解.
2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.
3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清新旧函数解析式.
4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法.
　　拓展题例
【例1】已知f（A，B）=sin22A+cos22B－sin2A－cos2B+2.
　　（1）设△ABC的三内角为A、B、C，求f（A，B）取得最小值时，C的值；
　　（2）当A+B=且A、B∈R时，y=f（A，B）的图象按向量p平移后得到函数y=2cos2A的图象，求满足上述条件的一个向量p.
【例2】 设曲线C的方程是y=x3－x，将C沿x轴、y轴正向分别平移t、s单位长度后，得到曲线C1.
　　（1）写出曲线C1的方程；
　　（2）证明：曲线C与C1关于点A（，）对称.
例3．已知两点，且点P（x，y）使得，成公差小于零的等差数列。（1）求证；（2）若点P的坐标为，记与的夹角为，求。
例4．用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。
　　已知：如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证：
　　∠APB＝90°。
题型7：平面向量在物理中的应用
【例1】 已知a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时，
　　（1）求t的值；（2）求证：b⊥（a+tb）.　　　　　　　　　　　　　　　　
　　思考讨论
对|a+tb|的变形，有两种基本的思考方法：一是通过|a+tb|2=（a+tb）2进行向量的数量积运算；二是设a、b的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形.可尝试用后一方法解答本题.
深化拓展
　　已知=a，=b，a·b=|a－b|=2，当△AOB面积取最大值时，求a与b的夹角.
　　解：因为|a－b|2=4，所以a2－2a·b+b2=4.所以|a|2+|b|2=4+2a·b=8，
　　S△AOB=·sinθ=|a||b|=
　　=≤=，（当且仅当|a|=|b|=2时取等号）
　　所以当|a|=|b|=2时，△AOB的面积取最大值，这时，cosθ===，所以θ=60°.　　　　　　　　　　　　

【例2】 如图，四边形MNPQ是⊙C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量与的夹角为120°，·=2.
　　（1）求⊙C的方程；
　　（2）求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程.
●闯关训练
1.已知点A（－2，0），B（3，0），动点P（x，y）满足·=x2，则点P的轨迹是
　　A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
2.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为
　　A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h
3.在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为_______.
4.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝_______方向行驶.
5.如图，△ABC的BC边的中点为M，利用向量证明：AB2+AC2=2（AM2+BM2）.　　6.如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上.∠ACW=150°，∠BCW=120°，求A和B处所受力的大小.（忽略绳子重量）　　7.已知A（4，0），N（1，0），若点P满足·=6||.
　　（1）求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；
　　（2）求||的取值范围；
　　（3）若M（－1，0），求∠MPN在［0，π］上的取值范围.
8.如图，已知△ABC的顶点坐标依次为A（1，0），B（5，8），C（7，－4），在边AB上有一点P，其横坐标为4，在AC上求一点Q，使线段PQ把△ABC分成面积相等的两部分.　　9.如下图，已知△OFQ的面积为S，且与的数量积等于1，
　　（1）若＜S＜2，求向量与的夹角θ的取值范围；
　　（2）设||=c（c≥2），S=c，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当||取得最小值时，求此椭圆的方程.
●思悟小结
　　向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物，因此在向量的复习中要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.应用向量可以解决平面几何中的一些问题，在物理和工程技术中应用也很广泛.
　　拓展题例
【例1】 已知a=（x2，x），b=（x，x－3），x∈［－4，4］.
　　（1）求f（x）=a·b的表达式；
　　（2）求f（x）的最小值，并求此时a与b的夹角.
【例2】 如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少?（忽略滑轮半径、绳子的重量）　　例3．如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力的合力。
思维总结
1．两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
　　（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定；
　　（2）两个向量的数量积称为内积，写成·；今后要学到两个向量的外积×，而?是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号"· "在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用"×"代替；
　　（3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若?0，且?=0，不能推出=。因为其中cos?有可能为0；
　　（4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ==> a=c。但是?= ?；
　　如图：?= |||cos? = |||OA|，?c = ||c|cos? = |||OA|==>? =?，但 ?；　　　　　　　　
　　(5)在实数中，有(?) =  (?)，但是(?)?  (?)，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c不共线。
2．平面向量数量积的运算律     特别注意：
　　（1）结合律不成立：；
　　（2）消去律不成立不能得到；
　　（3）=0不能得到=或=。
3．向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的"双重身份"能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直；
4．注重数学思想方法的教学
　　①．数形结合的思想方法。
　　由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。
　　②．化归转化的思想方法。
　　向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。
　　③．分类讨论的思想方法。
　　如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向（高中学习网www.gaozhong.cc/）量和反向向量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。
5．突出向量与其它数学知识的交汇